کم‌شنوایی، یک مسئله بهداشتی جهانی است که می‌تواند ناشی از عوامل ژنتیکی، نقص‌های مادرزادی، برخی بیماری‌های ویروسی، عفونت‌های مداوم گوش، داروها، صداهای بلند و سن باشد. اوریون معمولاً عامل کم‌شنوایی حسی-عصبی یک‌طرفه در کودکان است. در این مطالعه، یک مدل عملگر کسری ترکیبی با استفاده از مشتق‌های کاپوتو نسبت ثابت (CPC)، کاپوتو فابریزیو نسبت ثابت (CPCF) و کاپوتو آتانگا-بالئانو نسبت ثابت (CPABC) توسعه داده شده است تا کم‌شنوایی ناشی از اوریون در کودکان را بررسی کند. ما بر روی ناحیه‌ای که مثبتاً invariant و به خوبی تعریف شده است، در مدل پیشنهادی تمرکز کردیم. ما تعادل بومی و عاری از بیماری، عدد باروری، عدد قدرت و حساسیت پارامتر را ارزیابی کرده و پایداری جهانی سیستم پیشنهادی را بررسی کردیم. وجود، یکتایی و عملگرهای نسبی تعمیم‌یافته هیلفر برای ثابت نسبت به راه‌حل‌های سیستم با استفاده از نظریه‌های نقطه ثابت نشان داده شده است. ما یک سیستم از معادلات دیفرانسیل کسری را به طور تحلیلی با استفاده از روش تجزیه لاپلاس آدامین (LADM) شبیه‌سازی کردیم. این مطالعه از آن جهت حائز اهمیت است که اولین بار است که کم‌شنوایی مرتبط با اوریون با استفاده از یک مدل کسری مبتنی بر عملگرهای کسری ترکیبی و بدون هسته تک‌نقطه‌ای مدل‌سازی می‌شود. مشتق کسری اثر حافظه سیستم را حفظ کرده و غیرمحلی است و در این زمینه نسبت به مشتق مرتبه صحیح برتری دارد. این نوع مطالعه به متخصصان پزشکی در تشخیص، برنامه‌ریزی درمان و تصمیم‌گیری برای کم‌شنوایی ناشی از اوریون کمک می‌کند.
کم‌شنوایی مرتبط با عفونت ویروس اوریون می‌تواند تأثیر قابل توجهی بر افراد، به ویژه کودکان، داشته باشد. ویروس اوریون به عنوان یک عفونت ویروسی شناخته شده است که می‌تواند عوارضی از جمله ارکیت، مننژیت و کم‌شنوایی حسی-عصبی ایجاد کند. برای درک و پیش‌بینی دینامیک‌های کم‌شنوایی ناشی از اوریون، مدل‌سازی ریاضی می‌تواند ابزاری قدرتمند باشد. این تحلیل بر روی یک مدل ریاضی که مشتقات کسری ترکیبی با هسته‌های مختلف را شامل می‌شود، تمرکز دارد تا تأثیر ویروس اوریون بر کم‌شنوایی را بررسی کند.
چارچوب مدل ریاضی
- ساختار مدل:
- مدل می‌تواند به صورت یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) یا معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) که دینامیک‌های عفونت ویروس اوریون و تأثیر آن بر کم‌شنوایی را نمایندگی می‌کند، ساختاربندی شود.
- متغیرها ممکن است شامل جمعیت افراد مستعد، افراد آلوده، کسانی که دچار کم‌شنوایی شده‌اند و افراد بهبود یافته باشد.
- مشتقات کسری ترکیبی:
- مشتقات کسری راهی برای مدل‌سازی حافظه و ویژگی‌های ارثی فرآیندهای مختلف فراهم می‌کنند. مشتقات کسری ترکیبی شامل مشتقات کاپوتو و ریمان-لیوویل هستند و به مدل‌سازی انعطاف بیشتری می‌دهند.
- فرم عمومی یک مشتق کسری ترکیبی می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود:Dα(f(t))=DβDγf(t)که در آن 0<β<1 و 0<γ<1 مرتبه‌های مشتقات هستند.
- توابع هسته:
- انتخاب تابع هسته بر رفتار مشتق کسری تأثیر می‌گذارد. هسته‌های رایج شامل:
- هسته نمایی
- هسته قانون توان
- هسته میتگ-لفلر
- هر هسته می‌تواند جنبه‌های مختلف دینامیک بیماری و تأثیر آن بر کم‌شنوایی را به تصویر کشد.
- انتخاب تابع هسته بر رفتار مشتق کسری تأثیر می‌گذارد. هسته‌های رایج شامل:
تحلیل مدل
- وجود و یکتایی:
- وجود و یکتایی راه‌حل‌ها برای معادلات دیفرانسیل کسری می‌تواند با استفاده از نظریه‌های نقطه ثابت یا سایر روش‌های تحلیلی تأسیس شود.
- تحلیل پایداری:
- پایداری مدل می‌تواند با استفاده از روش‌های لیوپان و یا با بررسی مقادیر ویژه سیستم تحلیل شود. این موضوع به تعیین شرایطی کمک می‌کند که تحت آن سیستم به حالت پایدار می‌رسد یا رفتار نوسانی از خود نشان می‌دهد.
- شبیه‌سازی‌های عددی:
- با توجه به پیچیدگی مشتقات کسری، روش‌های عددی مانند روش گرانوالد-لتنیکوف، روش تجزیه آدامین یا روش‌های رانگه-کوتا کسری ممکن است برای شبیه‌سازی مدل به کار رود.
- شبیه‌سازی‌ها می‌توانند بینش‌هایی در مورد دینامیک‌های کم‌شنوایی در طول زمان ارائه دهند، تحت شرایط اولیه و مقادیر پارامتری مختلف.
نتایج و بحث
- تأثیر ویروس اوریون:
- مدل می‌تواند نشان دهد که ویروس اوریون تا چه حد به کم‌شنوایی کمک می‌کند و نقاط کلیدی زمانی برای مداخله را شناسایی کند.
- هسته‌های مختلف ممکن است نتایج متفاوتی تولید کنند که اهمیت ساختار مدل انتخابی را برجسته می‌کند.
- حساسیت پارامترها:
- تحلیل حساسیت نتایج مدل به تغییرات در پارامترها (مانند نرخ‌های انتقال، نرخ‌های بهبودی و درصد افرادی که دچار کم‌شنوایی می‌شوند) می‌تواند به استراتژی‌های بهداشت عمومی اطلاع دهد.
- پیامدهای بهداشتی عمومی:
- درک دینامیک‌های کم‌شنوایی ناشی از اوریون می‌تواند به توسعه برنامه‌های واکسیناسیون هدفمند و استراتژی‌های مداخله‌ای برای کاهش تأثیر ویروس کمک کند.
تحلیل یک مدل ریاضی با مشتقات کسری ترکیبی تحت هسته‌های مختلف، چارچوب جامعی برای درک کم‌شنوایی ناشی از عفونت ویروس اوریون فراهم می‌آورد. با استفاده از حساب کسری، مدل دینامیک‌های پیچیده عفونت و عواقب آن را به تصویر می‌کشد. تحقیقات آینده باید بر اعتبارسنجی مدل با داده‌های واقعی و بررسی عوامل اضافی که ممکن است بر نتایج تأثیر بگذارد، تمرکز کند. این رویکرد ریاضی می‌تواند به استراتژی‌های بهداشت عمومی بهتر و بهبود نتایج برای جمعیت‌های تحت تأثیر کمک کند.